My academic genealogy

I recently got a chance to look up my academic heritage, or in other name, "academic genealogy". Here's my findings.

Dr. Ildoo Kim got his Ph.D. in 2011 at the University of Pittsburgh, under a supervision of
Dr. Xiao-Lun Wu, who got his Ph.D. in 1988 at Cornell University, under a supervision of
Dr. Carl P. Franck, who got his PhD in 1978 at Princeton, under a supervision of
Dr. Steve E. Schnatterly, who got his PhD in 1965 at UIUC, under a supervision of
Dr. Charles P. Slichter, who got his PhD in 1949 at Harvard, under a supervision of
Dr. Edward Purcell, who got his PhD at Harvard and a Nobel laureate, under a supervision of
Dr. Kennith Bainbridge, who got his PhD at Princeton, under a supervision of
Dr. Henry D. Smyth, who got his PhD in 1921 at Princeton, under a supervision of
~(Dr. Smyth has the 2nd phd, received in 1923 at Cambridge, under a supervision of Dr. Ernest Rutherford, who is a Nobel laureate.)
Dr. Karl T. Compton, who got his PhD in 1912 at Princeton, under a supervision of
Dr. Owen W. Richardson, who got his PhD at Cambridge, UK, under a supervision of
Dr. J. J. Thomson, who got his PhD at Cambridge, under a supervision of
Dr. John William Strutt or Lord Rayliegh, who got his PhD at Cambridge, under a supervision of
Dr. E. J. Routh, Cambridge, under a supervision of
Dr. William Hopkins, Cambridge, under
Adam Sedgwick, Cambridge, under
Thomas Jones, Cambridge, under
Thomas Postlethwaite, Cambridge, MA 1756, under
Stephen Whisson, Cambridge, MA 1742, under
Walter Taylor, Cambridge, MA 1723, under
Robert Smith, Cambridge, MA 1715, under
Roger Cotes, Cambridge, MA 1706, under
Issac Newton, Cambridge, MA 1668, under (yes, that Issac Newton)
Isaac Barrow, Cambridge, MA 1652, under
Vinceno Viviani, educated in 1642 at Universita di Pisa, under
Galileo Galilei, educated in 1585 at Pisa under
Ostilio Ricci, at Universita di Brescia under
Nicolo Fontana Tartaglia

MA(Barrow to Postlethwaite) does not mean Massachusetts. It means the Masters degree, which once was the most advanced academic degree. Surely, the degree does not mean much here.

IK

PS. I finished this article on 12/28/2011, but it took almost three years to complete linking external links. I am 24th student of Galileo Galilei, who died exactly 340 years ago my birthday.

Symphony of science

최근 지인의 추천(?)으로 알게 된 것인데 들으면 들을 수록 중독되는 느낌이라 여기에도 소개해본다.

Carl Sagan - 'A Glorious Dawn' ft Stephen Hawking (Symphony of Science)


Symphony of Science - 'We Are All Connected' (ft. Sagan, Feynman, deGrasse Tyson & Bill Nye)


프로젝트 "Symphony of Science"

될 놈은 뭘 해도 되는가?

최근(이래봤자 몇 달쯤 전)에 S. Grossmann의 리뷰논문(Rev. Mod. Phys. 72 603)을 들여다볼 기회가 있었다. 16페이지밖에 안되고(물론 일반 페이퍼에 비해서는 길다), 리뷰 논문이라는 것이 전체적인 흐름을 잡아주는 것이지 세부적인 것을 이야기하는 것이 아니기 때문에 그 디테일이 빠진 것이 많았다. 저자가 적어놓은 몇몇개의 수식이 trivial하지 않았기 때문에 그 사이에 빈 공간을 채워넣는 작업을 했고, 그것에 대해 그룹 사람들을 상대로 talk을 한 적이 있었다.

/* 여기서 잠깐, 한국말이라고 하기 민망한 부분 */
내용이라면 뭐였냐면, vector로 표현될 수 있는 states의 time evolution operator를 matrix representation을 가질 때 이 matrix가 hermitian하지 않으면, 당연한 이야기겠지만, operator의 eigenvector들이 orthogonal하지 않을 뿐 아니라 eigenvalue들이 일반적으로 실수로 표현되지 않는다는 것이다. 2차원 벡터의 경우, 매트릭스는 2 by 2 로 표현될 것이고, 두 eigenvector는 orthogonal하지 않을 것이며, eigenvalue 두개 또한 일반적으로 복소수가 된다. 그래서 일반적인 vector를 이 operator에 따라 time evolution을 시킬 때 두 eigenvalue의 실수부가 0보다 작아서 exponential decay가 일어나더라도, non-orthogonal basis coordinate에서의 phase difference때문에 아주 짧은 시간 동안 transient amplication이 일어날 수 있다는 말이다.

말로 써놓으면 간단해 보이는데, 사실 그렇게 수식 전개가 간단하진 않았다. 아, 해놓고 보면 간단한데, 달랑 논문에는 결론만 써놓으니까 그걸 확인해본거다. 하여간에 그 과정 중에 하나가, 일반적인 Cartesian coordinate에 있는 vector를 이 operator에 따라 time evolution시키려면, 이 vector를 앞서 구한 operator의 eigenvector의 span으로 decompose한 다음, 각가의 성분을 각각의 eigenvalue로 time evolution시킨 다음에 그걸 다시 원래의 orthogonal한 Cartesian coordinate으로 되돌려오는 작업이 있었다.
나는 그걸 말 그대로 노가다로 풀었다. 일반적인 벡터의 두 x,y component를 잡고, 그걸 eigenvector basis로 바꾼다음에 각가에 time evolution operator를 곱해준 다음 다시 expand해서 원래 coordinate으로 되돌려와서 두 vector를 시간의 함수로 구했다. 그랬더니 논문의 결과와 정확히 같은 결과가 나왔다.

이후에 같은 연구실의 노교수님(Dr. Goldburg, 작년에 80세 생신잔치를 하셨지만 아직도 매우 active하게 연구하고 계신다)가 오시더니, 나한테 하시는 말씀이,

"일두야, 내가 니가 한 계산을 나름 해 봤는데 이상하게 논문하고 싸인이 뒤바뀌어서 나오는구나. 내 계산을 한번 보지 않으련"

해서 봤더니, 이 분은 내가 계산한 노가다방법과는 다르게 dy/dx+P(x)y=Q(x) 꼴로 나타나는 1st order non-homogeneous differential equation을 만드셨다. 이러한 형식의 방정식의 일반해는 널리 알려져있기 때문에 일단 그런 형식으로 바꾸기만 하면 solution은 바로 나온다. 하여간 나는 사실 그 식을 보고 그런 식의 접근방식을 떠올렸다는게 새삼 놀라웠다. 역시 그분이니까 가능한 어프로치였다고 생각한다. 주어진 방정식을 보고 그것이 가장 일반적일 형태를 유추하여 이를테면 linear algebra를 analysis로 바꾼 거다.

근데 문제는 solution이 논문과는 좀 다르다는 거였다. 중간텀의 부호가 바뀌어서 나왔는데, 머 결국 그 교수님의 답이 틀린 것으로 확인된게, 그 solution을 original equation에 넣고 풀면 만족이 안된다. 그런데 물리적으로는 그분의 방법이 전혀 이상한게 없다는 게 문제인 것이다. 일단 PDE를 푸는 과정에서 틀린 것이 없고, 답을 변환된 PDE에 넣으면 등호가 성립한다는 것은, matrix equation을 PDE로 옮기는 과정에서 우리가 모르는 뭔가 틀린 부분이 있다는 것이다. 아직 그게 뭔지 깊이 확인해볼 시간은 가지지 못했다. 어차피 답을 구했기도 하고, 사실 다른 프로젝트가 더 바빴기 때문에 더 이상 신경을 쓰진 않았다.

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여기까지가 한 몇주 전에 써놓고 더 이상 쓰지 않은 부분이다. 아예 오늘 맘 잡고 끝을 내야겠다.

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Uniqueness of physical solution independent of mathematical representation

하여간 그때 저러한 일로 인해 곧이어 든 생각이, 어떠한 수학적 representation을 사용하더라도 우리가 보는 physics는 변하지 않는다. 단순한 math technic이나 representation이 아니고, 하다못해 formalism이 달라도 우리가 보는 physics가 같으면 결국 같은 결론에 도달한다. 이를테면 양자역학에서 슈뢰딩거 방정식과 하이젠버그 방정식은 완전히 다른 형태이다. (보통) 슈뢰딩거 방정식은 2nd order PDE의 형태로 쓰고 아무래도 하이젠버그의 경우는 matrix또는 commutor의 형태로 방정식을 구성하는게 보통이고 시간에 대한 미분 하나만 있을 뿐 2nd order PDE로 나타내는 경우는 거의 없다. 하지만 두 경우는 사실 같은 경우다. 같은 physics를 보면서 다만 time의 reference frame을 다르게 잡았을 뿐이다. 고로 observable이나 eigenfunction은 두 경우 모두 다르게 나타날 수도 있지만 결국 physical reality와 관련된 부분 - eigenvalue -는 항상 변하지 않는다. 마찬가지로 어떤 변태가 실린더처럼 생긴 물체를 spherical coordinate에 대해 솔루션을 만든다 해도 무지 복잡하긴 하겠지만 결국 함수가 나타내는 꼴은 같을 것이라고 우리는 기대한다.

여기까지 생각이 도달한 나는 다른 경우를 생각해냈다.

Poincare-Bendixon theorem이라는게 있는데, 물리적으로 말하는 것은 2차원 이하의 phase space에서 chaos가 일어날 수 없다는 이야기지만, 수학적으로 보자면 어떤 시스템이 2차원이고 continuous하다면 결국엔 어떠한 궤적도 점 혹은 원으로 수렴한다는 것이다. 물리에서는 많은 시스템들이 '초기조건'과 관계 없는 어떠한 '결국 시스템이 흘러가는 방향'이 있다고 생각하는데, 아마 그렇지 않은 경우는 stochastic behavior를 보인다고 하기도 한다. 하여간 모든 linear deterministic system은 초기조건에 상관없는 asymptotic behavior를 가질 가능성이 매우 많다. 진자의 운동도 보면 마찰력을 고려하면 점점 줄어들어 정지상태가 되겠고, 마찰력이 없다 해도 phase space에서 limit cycle을 보일 것이다. 이러한 수렴하는 솔루션의 특징은 stable하다는 것인데, 솔루션에 대해 미세한 변화에 대해 항상 restoring force가 있다는 것이다. 대부분 물리에서 가정하는 모델 시스템들이 이러한 상황을 따른다.

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Real Life

그리고 나서 든 생각이, 만약 우리가 모든 것을 다 알게 되거, 드디어 종국에 모든 것을 예측할 수 있는 방정식을 세운다면 과연 이것이 그러한 limit cycle을 예측할 수 있느냐는 거다. 자 여기서부터는 물리가 아니라 그냥 단상의 레벨로 내려오는데...

될놈은 되는가?

'될놈설'이라고 있다. 누가 주창했는지는 명확치 않으나, 학부 시절에 많이들 이야기했던 theorem이었던 것 같다. 무슨 내용인 즉슨 하니,

M군이 F양한테 프로포즈를 한다. 그런데 어떻게 프로포즈를 해야할까로 고민을 하고 있는 것이다. 이때 (현명한) 누군가가 다가와서 '니가 어떻게 프로포즈를 해도 될놈이면 되고, 안될놈이면 어떻게 프로포즈를 해도 안돼' 라고 말한다.

다시 말해 '될놈설'이 말하는 바는 '될놈은 뭘해도 되고, 안될놈은 뭘해도 안된다'라는 것이다. 근데 이 theorem은 실제 상황을 설명하는 데 있어서는 매우 강력하다. 사실 F가 M을 좋아한다면 M이 부끄럽게 겨우 이야기를 꺼내도 둘은 결국은 잘 됫이고, 아마 M의 사소한 실수들은 그냥 추억으로 남을 것이다. 반면 F가 M을 별로 좋아하지 않는다면 M이 아무리 화려한 이벤트를 만들어도 결국은 그냥 '오바쟁이', 불운한 경우 '스토커'가 된다는 것이다.

결국 될놈설이 말하는 것은 어떠한 초기조건을 선택하던 간에 결국 흘러가는 방향이 있다. 즉 그러한 종류의 문제를 포뮬레이션 하면 '초기조건에 대한 민감성'따위가 들어갈 구멍이 별로 크지 않다는 것이다. 물론 theorem은 치명적인 약점이 있다. '될놈'인지의 여부의 진리함수를 f라 하면 f=f(M,F)이고, 어떠한 M,F의 조합에 대해 함수 f가 true를 return할지는 실제로 일이 일어나기 전에는 판정할 수 없다. 다시 말해 이론은 예측력이 없는 이론이다. 하지만 현상론적으로는 아주 훌륭한 이론이라고 생각한다.(?) 사실 이 될놈설이라는게 남녀관계에서 자신이 통제할 수 얼마나 없는지에 대한 반쯤 농담 반쯤은 진담으로 하는 얘기이다.

될놈설의 실체는 단순히 언어의 오용이다.

물론 '될놈설'을 농담거리 이상으로 생각하는 사람이 얼마나 있겠냐만은, 확실히 해주고 싶은 것은 될놈설이라는 것은 '될놈'이라는 단어를 교묘하게 재정의 하는 말장난이라는 것이다. 다시 말해 '될놈은 뭘 해도 된다'라는 것은 '된 놈은 과거에 될 놈이었다' 혹은 ''될놈'은 '된 놈'의 과거의 상태이다'라고 재정의해주는 말장난일 뿐이라는 거다.

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하지만 여전히 환상은 남아있다. 탄호이저가 볼프람에 비해 다른 점이 무엇인가? 결국 탄호이저는 '될놈'이었다는 것이다. 그것은 탄호이저의 노력 때문도 아니다. 바그너의 악극에 공통적으로 들어있는 인종주의적 영웅의 모습이 연상될 수도 있지만, 사람들은 그러한 주어지는 행운에 대해서는 매우 환상을 가진다. 하지만 이러한 기만적인 될 놈은 뭘 해도 된다라는 식의 모델은, 물리에서처럼 linear deterministic approximation일 수 있다는 것이다. 나는 오늘도 될놈설에 의지하여 맘을 편히 가지며 시간의 흐름에 인연을 맡겨나가고 있지만, 그런 식으로 내가 정말 원하는 걸 얻지 못할 가능성이 많다는 것은 잘 알고 있다. 물리현상에서도 linear하게 solvable case는 극히 드물다.

될 놈은 뭘 해도 된다. 왜냐면 그가 될 놈이라고 정의되어 있기 때문이다. 하지만 어떻게 그가 될 놈인지 예측하는 것과 어떻게 '안될 놈'을 '될 놈'으로 바꿀 수 있는지에 대해서는 알려진 바가 없다. 물론 '내가 이런 문제의 답을 찾아낼 놈'이면 이 문제의 답을 찾아내겠지만 말이다. 될 놈을 뭘 해도 된다지만, 누가 될 놈인지에 대해서는 알려진 바가 별로 없다는게 문제다.

IK

어찌보면 '될 놈이라고 믿는 것'이 더 중요하다는 생각도 든다.
그리고 어떤 사람이 이곳을 떠나는 게 전혀 슬프지 않을 때가 있다. 언젠가 다시 '만날게 될 사이'라는 느낌이 들거든

back from APS 2008

드디어 APS2008이 끝나고 다시 피츠버그로 돌아왔다.
사실 APS에 대해서는 이미 썼기 때문에 더 쓸 말은 없는데 마치 내가 뭔가 더 쓸거처럼 이전 글에서 쓴 데다가, 올릴 사진이 몇개 있어서.

1. 일단 일하는 사진. 11일 화요일 포스터 세션 마치고 나서 찍은 사진


2. 12일 일정 끝나고 승화랑 만나서 찍은 사진. 약간 흔들렸지만. ㅎㅎ


3. 뉴올리언스의 운하

저런 배를 곧 한강에서도 볼 수 있겠지. -_-

4. 세계에서 젤 긴 다리
Lake Pontchartrain Causeway(wiki)는 길이가 23.87 miles (38.42km)로 세계에서 가장 긴 다리이다. 나중에 뉴올리언스에서 혹시 올림픽이라도 개최하게 되면 아마 이 다리를 건너는 마라톤 코스가 생기지 않을까? 24마일이면 우리집에서 공항정도 거리 되는 듯.
4.1. 다리 위에서 (pics by 손형빈군)

4.2. 건너고 나서 우리가 건너온 다리

4.3. 그 다리를 배경으로.


5. 아직 복구되지 않은 뉴올리언스

Free demolition이라는 광고문구가 애처롭다.

6. 째즈바

째즈바도 찾기 어려워서 겨우겨우 찾아 갔는데 나름 만족. 운없게도 감기에 걸려서 Irish coffee를 제대로 즐기지 못해 아쉬웠다.

7. 마지막으로

APS 기념품. 저게 파란색으로 되려면 sqrt(1-(v/c)^2)가 0.5쯤 되어야 하나? 그럼 c의 70%로 달리면 되는건가?

IK

물리얘기는 없지만 그래도 APS관련이니 물리관련 카테고리로. :)

American Physical Society 2008 March Meeting

2008년 미국 물리학회(APS) 3월 미팅이 3월 10일부터 14일까지 New Orleans, LA의 Ernst N. Morial Convention Center에서 열리고 있다. 나는 abstract 두개를 제출하여 올 학회에서 두개의 토픽을 발표하기 위해 지금 New Orleans에 와 있다. 나의 talk은 월요일 오후에 하나, 화요일 오후에 하나였고, 화요일 저녁인 지금은 모든 발표가 끝나고 스탠포드에 있는 카이스트 물리과 00학번 후배인 승화와 새로 만난 버클리에 있는다던 조재현군과 함께 저녁과 맥주를 마시다가 이제 숙소로 돌아와 있다. 학회는 금요일까지 계속되지만 대개 수요일 저녁쯤 되면 바쁜 일 대개 건너가고 좀 풀리기 마련이다. 나도 이미 내 발표가 다 끝나서 이제 슬슬 풀리고 있다.

원래 한 해에 한개정도 발표하는 것이 보통인데, 이번에는 여름에 잠시 진행하던 작은 프로젝트가 있어서 그걸 같이 내는 바람에 두개가 됐다. 헌데 학회 직전까지 너무나 바빠서 1주일 전부터에서야 본격적인 학회 준비를 시작했고, 두개를 동시에 준비하는게 그렇게 피곤한 일인지 몰랐다. 희망과는 달리 포스터로 돌아간 프로젝트의 포스터 제작을 마치고 나니 금요일이었고, 그때부터 구두 발표하는 토픽의 PPT와 발표준비를 하느나고 주말간 정말 정신이 없었다. 그렇게 피곤했으니 일단 오늘 다 끝나고 나니 그동안 긴장이 풀리면서 갑지기 피곤해졌다. 사실 승화와 술도 충분히(?) 마시고 싶었지만 내가 피곤해져서 일찍 들어와서 샤워하고 글 쓰는 중.

일단 도시에 대해 쓰자면 상당히 남부적인 분위기가 어떤 것인가 좀 느껴가고 있다. 거리에는 꽃무늬 남방이 어울릴만한 흑인들이 꽤나 돌아다니고, 서부처럼 느긋하게 일한다기보다는, 할일이 없어서 느긋한 거 같고 -_- 그리고 음식점들은 좀 인테리어가 많이 촌스럽다. 그래도 french quarter라 불리는 곳 안으로 들어가면 괜찮은 음식점들이 많이 있는데 하여간 음식점의 공통점은 대개 다 해산물이라는 거다. 피츠버그에서는 해산물을 먹으려면 특정 가게 한두개를 굳이 찾아가야 했는데 이곳은 그렇지 않다. 해안도시니 당연한 얘긴가. 하여간. 민물가재(crawfish)와 메기(catfish)를 많이 먹는 거 같다. 나는 이런 곳에 오면 locality를 즐겨보자는 의미에서 항상 추천을 요구하는데 대충 catfish를 구워서 소스를 뿌리고 crawfish을 위에 덧대는 그런 음식이 많다. 다만 음식을 아주 많이 줘서, 주로 남기고 있다. 나도 꽤 잘 먹는 편인데다가 피츠버그에서는 생선을 먹기 힘들기 때문에 최근에 생선음식을 남겨본 기억은 거의 없는데 오늘 오랜만에 생선음식을 남겼다. 이 지역 맥주는 너무 강하지도 너무 약하지도 않고 향이 그렇게 많지는 않고. 그렇게 맥주가 맛있는 동네는 아닌거 같다. 전반적인 음식은 만족이다. 워낙 seafood를 먹기 어려운 미국이다보니.

다만 재즈의 고향이래니 어쩌니 해서 꽤나 기대하고 왔는데 역시 주점은 재즈가 흘러나오는 운치있는 곳보다는 그저 락음악이 흐르는 시끄러운 전형적인 미국식 pub이 많은 듯 하다. 그래도 돌아가기 전에 제대로 된 jazz bar를 들를 수 있었으면 좋겠다.

학회는 아직까지는 내가 발표로 정신이 없어서 다른 사람 talk을 별로 들을 기회가 없었다. 다만 포스터 발표를 하면서 들은 몇가지 코멘트가 valuable한 게 있는데 나중에 차차 정리해서 연구에 유용히 써야겠다. 아 그리고 professional 해보이는 사진을 찍어서 배포하여 결혼시장에서 사기를 치는 것도 해야하는데 아무래도 그건 잘 안되는 듯 하다. 이미 professional해보일 수 있는 기회(발표)는 다 지나갔는데 사진은 찍지 못했거든.

머 나중에 피츠버그에 다시 돌아가면 학회에 대해 더 쓰게 될지 모르겠다. 하지만 일단 나는 여기저 좋은 시간 보내고 있고 게다가 오늘 talk이 다 끝나서 이제 좀 편한 마음으로 공부를 하던 놀던 할 수 있을 거 같다.

IK

물리학자의 살신성인

갈릴레이 이후의 물리학은 지난 몇세기동안 근대 합리적 사고를 바탕하는 과학적 사고방식에 기여를 했고 구체적으로 많은 자연법칙의 발견으로 인간 사회의 물질적 가치를 풍요롭게 했다. 지금 내가 컴퓨터로 쓰고 있는 글도, 만약에 양자역학에 대한 무지로 컴퓨터를 만들지 못했다면 아마 존재하지 않을 글이다. 이처럼 물리학은 인류 사회에 지대한 영향을 미쳤으나 고전물리학의 극한의 개념과 양자역학의 여러 기괴함은 물리를 하는 사람을 사회적으로 고립시켰고 사회적 부적응자로 만든 측면이 있다. H모양의 "I think 'Weird' is a middle name of all physicists"라는 명언으로 대변되는 이러한 현상은, 인류의 지적발전을 위해 기꺼이 인간성을 포기하는 물리학자들의 살신성인을 보여준다고 할 수 있다. 이 블로그에 글을 쓰는 IK도 그러한 물리학자들 중의 한명으로서, 일상성이 결여된 물리이론에 심취한 나머지 일상(日常)생활에서 이상(異常)함을 보여준 사례 두가지를 유머적인 코드로 소개하고자 한다.

다시 말해, 서론이 길었는데, 내가 직업병 때문에 좀 이상한 행동을 한 경우가 있어서 써본다.

1. 2002년 어느날, 나는 당시 사귀고 있던 여자친구의 생일선물을 사러 돌아다니고 있었다. 사귀고 나서 첫 생일이었고, 나름 그래서 반지를 사고자 보석상에 들어갔다. 반지는 그때 처음 사보는 것이어서 들어가고 점원이랑 이야기를 하면서야 반지에도 '사이즈'가 있다는 것을 알게 되었다. 당시 여자친구는 한국에 있지 않았고, 선물을 준비하는 입장에서 전화로 사이즈가 뭐냐고 물어보기도 좀 그런 상황이었다. 하여간 그렇게 점원과 대화가 오간다.

나 : 이거 모양은 괜찮은데 사이즈가 맞을라나 모르겠네요.
점원: 음 이거 기본 사이즈예요... 너무 크면 줄여드릴 수 있어요.
나 : (무슨 말이냐는 눈빛으로 점원을 응시)
점원: 아 그러니까요, 반지가 너무 크면 공짜로 줄여드린다니까요.
나 : 아니, 기본 사이즈라며요, 그걸 어떻게 더 줄여요?
점원: 기본 사이즈니까 더 큰거두 있고 더 작은 거도 있죠.

2. 2006년 어느 날이었을 거다. 이곳 미국에서는 자동차를 길거리에 주차할 때 옆에 주차비를 넣는 동전먹는 기계가 있다. 학교 앞 주자장들은 대개 25센트 동전을 넣으면 30분간 주차가 가능하다. 그런데 가끔 그 기계에 'NO PARKING, FROM ___ TO ___'라는 딱지가 붙으면 그 시간 동안은 주차를 하면 안된다. 그 기간 중에는 주차 금지 지역으로 바뀌는 것이다.

그날은 내가 차를 가지고 학교 앞에 도착했을 때는 대충 오전 10시 근처였다. 아마 2006년 12월 23일이었던거 같다. 내가 차를 세우고 동전을 넣으려고 기계 앞으로 갔을 때 본 것은

"NO PARKING, FROM 12/23/06 9:00 TO 12/23/06 9:00"

이라고 쓰여진 쪽지였다. 한참동안 그걸 그대로 응시한 나는 그냥 동전을 넣고 차를 떠났다. 대략 4시간 후에 돌아와보니 경찰이 발행한 무려 100불짜리 Parking Ticket이 발부되어 있었다. (여기서는 주차 단속을 두군에서 하는데, 한국의 구청직원과 비슷한 parking authority 사람들은 17~25불정도의 딱지를 뗀다. 반면 경찰에게 걸리면 딱지 모양도 다르고 액수도 훨씬 크다.)

뭔가 억울했던 나는 시 법원에 가서 주차금지 표지에 AM과 PM표시가 없어서 착각했다고 주장해서 벌금을 깎긴 했는데 정말 솔직한 이야기를 하진 못했다. 아마 그 말을 하면 판사가 자기를 놀리고 있다고 생각할 거 같았다.

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이제 에피소드들을 이해하는 매뉴얼

1. 양자역학에서 '기본 에너지'라고 하면 일반적으로 ground state energy를 나타낸다. 양자역학 뿐 아니라 일반적인 파동역학에서 'discrete mode'라는 것은 기본적으로 boundary가 한정되어 있는 시스템에서 나타난다. 양자역학처럼 시스템의 사이즈가 극히 작은 영역으로 가고 물질과 파동의 duality가 나타나면 물질이 가지는 energy state도 불연속적인 값을 가지게 되는데 이런걸 quantization이라고 한다. 다시 말해 '양자화'라는 것은 particle-wave duality를 기본으로 하며 무한하지 않은 시스템에서 나타나는 수학적, 물리적 결과인 셈이다. 하여간 그러한 이유로 일반적으로, 시스템의 해밀토니안이 주어지면 그 시스템이 가질 수 있는 가장 낮은 에너지를 구할 수 있다. 자세한 설명은 생략한다. 하여간 그래서 양자역학에서 {ground state energy}={바닥 상태 에너지}={기본에너지}={E_0} 등등은 다시 말해 {시스템이 가질 수 있는 가장 작은 에너지} 인 것이다.

다시 말해, {기본 사이즈}={반지가 가질 수 있는 가장 작은 사이즈} (?)

2. 내가 처음 FROM 9:00 TO 9:00을 봤을 때, 정말 honestly, 난 진정으로, 경찰이 의도한 것처럼 '오전 9시'부터 '오후 9시'까지라고는 정말 상상도 못했다. 나는 조금 이상하다고는 생각했지만 lim{t->9:00-}t 에서 lim{t->9:00+}t 까지만 주차를 하지 않으면 된다고 생각했다. 그리고 속으로 '허허 얘네들도 델타펑션을 쓰기도 하는구나...'라고 생각하고 그냥 안심하고 차를 떠났다.

자 여기서 비물리인을 위한 미적분학의 기본에 대해서 말씀드리자면 예를 들어 y=|x|라는 함수가 있을 때, 이 함수가 미분 가능하지 않은 함수라는 것을 보일 때 어떻게 하느냐 하면, singularity가 있는 x=0에서 함수의 미분값이 존재할 수 있느냐는 문제에 대해 생각하게 된다. x=0에서의 어떤 값을 보고 싶은데, 0으로 무한히 가까이 다가가는 방법은 x>0 쪽에서 다가가는 방법과 x<0>0+}의 개념이고 후자가 lim{x->0-}의 개념이다. 이 함수는 두 방향에서 다가갔을 때 미분값 dy/dx가 다르기 때문에 미분가능하지 않다. (간단히 말해서 미분 가능하면 연속이다.)

델타 펑션이라는 것은 delta(x=a)일 때 무한히 작은 수 e에 대하여 x∈[a-e,a+e]구간에서 1/2e의 높이를 가지고 다른 부분에서는 0의 값을 가지는 함수이다. 흠 이렇게 써놓으면 이미 아는 사람만 알아듣는 언어가 된 거 같은데, 다시 말해서 delta(x=a)는 그냥 다 0인데 x=a에서만 무한대로 큰 값을 가지는 함수라고 생각하면 된다. 주로 함수를 샘플링하는데 쓰인다. (Green's Theorem)

판사가 듣고 자기를 놀린다고 생각할 거 같아서 결국 이야기 못했지만, 나는 정말 오전 9시가 되기 조금 전부터(무한히 짧은 시간동안) 오전 9시 조금 후(역시 무한히 짧은 시간동안) 만 차가 그곳에 없으면 된다고 생각했다.

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해설을 읽어도 잘 이해가 안되는 분이 많을 것으로 생각된다. 해설을 읽고 이해했다면 당신은 공학자, 해설 안읽고도 이해했다면 당신은 물리학자. 혹은 수학자.

IK

역시 common sense라는 것은 너무 어렵다. 무엇이 누구 맘대로 'common'이 되는 것인지는 모르겠지만.

A Simple Model

지난 크리스마스이브에 비행기를 타지 못한 이후로, 하루나 이틀 동안 왜 아무도 미리 다음날 비행기를 자원하지 않았을 지에 대해 생각하고 있었다. 다시 말해 만약에 우리가 이 상황을 간단한 게임이론의 모델로서 구축할 수 있고 payoff table을 만들 수 있으며, 그에 따라 'involuntary strategy'가 Nash's equilibrium에 있다면 왜 그랬는지 설명할 수 있지 않을까?

(여기까지는 그날까지의 감상이고, 사실 돌아오는 비행기에서 'Freakonomics'라는 책을 읽으면서 왔는데 그 책의 저자의 관점에 들어있는 ‘인센티브’의 개념으로도 대충 설명이 가능할 거 같다는 생각이 든다. 하지만 그날까지의 감상으로 이 글은 한정하겠음.)

그래서 모델은 이렇다. N명의 사람들이 비행기를 타려 기다리고 있고, M개의 자리가 있다. N>M의 상황만을 고려하며, 그에 따라 N-M명의 사람이 비행기를 탈 수 없다. 실제 상황에서는 각 승객의 fare class가 있어서 우선순위라는 것이 존재하지만, 간단한 모델을 만들기 위해서 그런 것을 무시한다. 누가 제외될 지의 선택은 무작위로 결정된다. 다시 말해 M보다 작은 V명이 자원을 했을 때, 자원하지 않은 사람이 비행기를 타지 못할 확률은 (N-V-M)/(N-V)가 된다.

그리고 V>M일 경우 약간 복잡해지는데, M/V의 확률로 비행기를 타지 않게 되겠지만, (V-M)/V의 확률로 비행기를 타게 된다. V>(N-M)일 확률을 a라고 하자. 사실 a는 payoff의 함수이고 payoff는 a의 함수가 되기 때문에 recursive function이 되는데, 현실적으로 웬만하면 a는 0에 가까울 거 같다. 하지만 우리가 가정하는 상황 자체가 V>0인 상황이기 때문에 a를 함부로 0으로 놓으면 안 될 것이다.

그리고 payoff를 도입하자면, 어떤 사람이 자원해서 비행기를 타지 않았을 경우 R(Reward)이라는 보상을 받겠지만 T(Timeliness)만큼을 얻을 수 없다. 어떤 사람이 자원하지 않았지만 비행기를 타지 못할 경우는 C(Compensation)라는 보상을 받고 T를 잃게 된다. 비행기를 타게 되면 T를 얻게 된다.

정리하자면, 어떤 사람이 자원한다면,
1) a의 확률로 '잉여 자원자‘가 생기게 되고, 이 경우
1.1) (V-M)/V로 T 획득
1.2) M/V로 (R-T) 획득
2) (1-a)의 확률로 (R-T)획득
고로 P(voluntary)=aT(V-M)/V+aM(R-T)/V+(1-a)(R-T)

어떤 사람이 자원하지 않는다면,
1) a의 확률로 무조건 비행기 탐: T 획득
2) (1-a)의 확률로 추첨돌입, 이 경우
2.1) (N-V-M)/(N-V)로 탑승 실패: (C-T) 획득
2.2) M/(N-V)로 비행기 탑승: T 획득
고로 P(involuntary)=aT+(1-a)(N-V-M)(C-T)/(N-V)+(1-a)MT/(N-V)

정리하면,
P(voluntary)=(1-a)(R-T)+a(TV+MR-2TM)/V
P(involuntary)=aT+(1-a)(NC-VC-MC-TN+TV+2TM)/(N-V)

N과 M은 상황에 따라 주어지는 parameters고, C와 R은 항공사가 규정에 정한 constants이다. T는 개개인의 상황에 따라 달리 주어지는 parameter이고 a와 함께 상황을 복잡하게 만드는 요인이 된다. voluntary, involuntary 두 경우 모두 a와 V의 함수가 되고, a도 역시 V의 함수이므로 비선형 항이 되겠다. 하여간 P(v)와 P(i)를 모두 V의 함수로 그렸을 때 V와 상관없이 P(i)>P(v)가 되는 parameter set이 존재한다면 그때가 모두 양보하지 않는 Nash's equilibrium이 될 것이다. 대충 봐서 R=C=2T, a=0의 경우 P(v)=T, P(i)=T가 되어 두 경우의 기대값이 같게 나타난다. 당연한 결과지만. 만약 R < C 이라면 Nash equilibrium이 거의 되지 않을까 생각. 잘 읽어보지 않아서 모르겠지만 아마 항공사 규정에 involuntary case가 더 보상이 컸던 거 같다.

더 이상 자세한 생각이나 시뮬레이션은 UA가 알아서 했을 거라 생각한다. 그럼 이만.

IK

과학자와 예술가

고등학교에서 이과/문과를 나누는 덕에, 특히 한국 사람들은 이공계와 인문계를 나누는데 익숙해져있다. 사실 인문계, 경영계, 이공계, 의학계 등등 세부적으로 더 나뉘긴 하지만 이공계 사람들이 아닌 이상 이학과 공학을 나누는 경우는 드물지 싶다.

사실 나는 하드코어 물리학도로서 그러한 이공계를 뭉뚱거리는 분류법을 아주 싫어하는데 왜 인고 하니;

미국 대학의 일반적 분류법이나 한국의 초기 형태 대학(예를 들어 연희전문학교)들의 예를 보면 이른바 '이학'은 공과대학보다는 인문계에 더 가깝게 분류되는 것이 보통이다. 예컨대 내가 다니는 학교의 경우를 보면, Department of Physics and Astronomy는 Faculty of Arts and Science에 같이 속해있으며, Faculty는 사실 '교수진'이라는 뜻이지만 저런 경우 '대학'으로 해석하는게 바람직하고, Art의 경우는 미술 혹은 예술을 말하지만 이 경우 인문학을 통칭한다. 보통 Liberal Arts라고 하면, 영문학을 비록한 각종 언어의 문학, 그리고 언어학, 법학, 철학, 심리학을 포함하며, 논리학, 수학, 물리학, 화학정, 생물학정도를 포함하며, 예술 쪽으로는 음악과 순수미술 등이 포함된다. 일반적으로 Liberal Arts에 경제학이 포함되는 경우는 종종 있으나 경영학이 포함되는 경우는 없으며, 의학도 보통 따로 분류된다. 다른 모든 공학과 산업디자인 등의 applied arts도 포함되지 않는다.

그러고보면 Liberal Arts and Science라는 것은 'Job market에서 인기가 없는 과들의 모임'정도가 되겠다. 무언가를 만들고 고치고 혹은 더 좋은 돈벌이를 향한 것이라기보다는 아주 전통적인 '학문'이라는 개념에 더 충실한 학과들이 Libaral Arts에 포함이 된다. 그런 면에서 사실 과학와 인문학, 예술은 아주 많은 유사성을 가진 면이 있다. 뭐랄까. 제일 먼저 어떠한 주제를 잡을 때 '그래서 그걸로 뭘 할수 있는데?'라는 질문은 절대 하지 않는다는 것이다. 그리고 두번째로 '나름의 스타일'을 중시한다는 것이다.

물론 요즘 하도 inter-disciplinary가 대세이다보니, 사실 한 과 안에서도 많은 스펙트럼이 있기 마련이다. 일단 물리과 안에서도 세부전공이 여러개로 나뉘는데, 그 중에 고체 실험은 어느정도 이공계로 분류되도 억울하지 않을 수 있다. 고체 실험은 정말로 'highly industrized'된 분야로서, 모든 연구가 아주 체계적이고 시스템적으로 이루어진다. 누군가 물질을 만들고, 누군가 측정하고, 공대와 다르게 새로운 물질에 대한 시도를 많이 한다는 것이 다르긴 하지만 팀 작업이 매우 중요하고 틀에서 벗어날 여지가 별로 없다는 면에서 전통적 물리학과는 좀 달라지고 있는게 사실이다.

하지만 내가 있는 랩은 nonlinear dynamics lab인데, 이 분야가 얼마나 덜덜덜인 분야냐면, 내가 보는 논문은 1890년 정도까지 거슬러 올라간다. 학문의 발전은 아주 더디어서 아직도 1941년 Kolmogorov라는 걸출한 인물이 이루어낸 것을 되짚어보면서도 할 일이 많이 있다. 순수한 partial differential equation의 성질을 다루는 스터디가 그룹미팅 주제로 종종 발표되는 것을 보면 일단 우리 분야도 'hard core physics'라고 해도 될 법 하다.

오늘 교수님과 이야기를 했는데, 언제나 하시는 이야기지만, 나름의 'own style'을 가지는 것이 중요하다고 강조를 하셨다. 연구를 하는 방식, 실험을 설계하는 방식, 논문을 쓰는 방식 모두에서 과학자는 나름의 '스타일'을 가져야한다는 말씀이었다. 이 분은 내가 바이올린을 해본 적이 있다는 사실을 알고 이런 이야기를 할 때 음악을 잘 예로 드는데, 여러 음악가가 연주를 할 때 각자 다른 스타일이 있고, 듣는 사람이 어떤게 좋은 음악인지 알 수 있듯이, 과학하는 방법에도 그러한 스타일이 있으며, 그런 스타일은 고유한 것이기 때문에 나중에 비판의 대상이 되기도 어렵다고 하셨다. 예를 들어 몇달 전에 돌아가신 1991년 노벨상 수상자 de Gennes의 예를 들었는데, 이 분은 항상 논문을 쓸 때 간결하게 썼다고 한다. He didn't put much explanation...이라는 표현으로... 마치 피카소가 any addtional stroke을 redundant라고 생각했듯이 de Gennes도 정말 '필요한 설명'을 제외하고는 논문에 더 글자를 넣지 않았다고 한다. 처음에 그의 논문을 읽을 때는 그런 면에서 상당히 불만스럽지만, 나중에는 그게 그의 철학이고 물리하는 방식임을 이해하게 되면 그것에 대해 뭐라 말할 수 없다는 말씀을 하셨다.

사실 예전에 과학고 시절이나, 이른바 '영재교육'을 받으면서 창의력을 강조하는 분위기를 타긴 했는데 (물론 그렇다고 그런 영재교육이 얼마나 창의성을 계발해주었는지는 모르지만, 혹은 창의력이 계발될 수 있는 것인지는 모르지만) 사실 대학을 거치고 대학원을 거치면서 물리를 하면서 더 중요한 것은 '이해력'이라고 생각했다. 솔직히 말해서 나는 그 동안 과학자와 예술가의 공통점을 엄밀한 의미에서 찾지 못하고 있었다. 사실 과학을 함에 있어서 아인슈타인처럼 '특허청 책상에 앉아서' 위대한 이론을 사고실험을 통해 발견해낼 바가 아니라면 창의력이 과연 필요한가...라는 생각을 했었다. 연구라는 작업은 대부분 디스커션을 통해 이루어지고, 사실상 팀작업을 통해 이루어지기 때문에 번뜩이는 아이디어보다는 문제의 본질이 뭔지 이해하고 그에 맞는 연구방법을 찾아서 올바른 파라미터를 적용해나가는 과정이 아닌가 하는 생각을 많이 했었다는 거다.

여전히 내 생각은 유효하다. 혼자서 번뜩이는 천재보다는 꾸준히 이야기하고 디스커션 하는 학자가 더 훌륭한 학자고, 전혀 새로운 이론을 발견해서 그게 맞을 확률보다는 이론과 문제의 본질을 이해하여 차근차근 접근하는 방식으로 연구에 성공할 확률이 높다는 것은 여전히 맞다고 생각한다. 하지만 나 스스로 악보를 보면서 바이올린을 했지만 실제로 내가 생각하는 감정을 악기로 표현할 수 없었듯이, 연구에 있어서 나의 방식이라는 것이 없었다는 면에서 예술과와 과학자 사이의 아무 연관성도 생각해보지 않았다고 말하는 것이 맞을지 모르겠다.

과학자는 정확한 것을 추구하고 예술가는 감성적이라는 식의 접근은 아마도 과학자가 '공학자'라면 맞는 말일 것이다. 주변에 존경받는 교수님들을 보면 그분들은 어떤 이론을 들었을때 차근차근 계산해보기 앞서 자신들의 직관에 의지했던 거 같다. 아무래도 물리를 하는 사람들은 공학을 하는 사람들과는 다른 방식을 가지고 있는 것은 어느정도 맞는 거 같다. 연구할 때 보면 처음부터 모든 step를 차근차근 밟기보다, 먼저 dimensional analysis만 해봄으로서도 많은 문제를 비교적 정답에 가까운 힌트를 얻을 수 있다. 페르미가 원자폭탄의 실험에서 발생한 버섯구름만 보고서 그 원자폭탄의 에너지 스케일을 단번에 알아맞춘 일도 있지 않은가.

피아노 전공인 Joshua를 보면, 그가 얼마나 음악에 대해 식견이 있는지를 알 수 있는데, 그는 나처럼 악보를 자세히 읽지 않는다. 다만 악보에 쓰여진 리듬의 구조와 멜로디의 주고 받는 구조만을 보고 Clara Schumann이 쓴 악보에서 Brahms와 R. Schumann의 자취를 읽어내는 것을 보고 참 인상적이었다.

글을 여기서 마무리짓긴 하지만 사실 난 아직도 내가 바이올린으로 내 정서를 표현하는 것과 논문으로 내가 보는 세상을 이야기하는 것에서 큰 유사성을 찾아내진 못하고 있다. 하지만 오늘 교수님과의 짧은 대화가 그러한 느낌이 어렴풋이 무엇일지 clue를 잡은 느낌이다. 지금 이렇게 내가 확신이 서지 않지만 그래도 공유하고 싶은 주제에 대해 글을 쓰듯이 내가 완전히 풀지 못했지만 알리고 싶은 물리문제에 대해 논문을 쓰는 것이 자연스러운 날이 오길 바란다.

IK

P.S. 교수님과의 대화는 결국 내년 3월 APS에 abstract를 두개를 내는 것으로 결론이 났다. 난 둘중에 뭐 낼까 하고 물어보러 간건데; -_- 열흘 내로 주제 두개 정리해서 abstract써야한다. 뭐 열흘이면 그렇게 빡세진 않다. 그리고 이 두개 포함, 지난 1년간 집중헀던 문제 세개를 크리스마스 근방까지 논문으로 정리하잖다. 두개는 대충 했으니 하나만 좀 쓰면 되려나.

Comet 17P/Holmes

최근데 원인을 알 수 없는 Outburst가 일어나서 겉보기등급이 무려 17등급에서 2등급으로 15단계가 뛰어올라서 화제가 되는 혜성이다. 겉보기등급은 5등급 차이가 100개의 밝기 차이를 가지도록 로그 스케일로 정의되니까 15단계면 10^6배 밝아진 셈이다. 어떻게 이게 가능하지?

17P/Holmes에 관한 위키피디아 사이트

하여간 이 혜성은 대충 지름이 4km정도의 아주 작은, 천문학적 관점으로 볼때 그냥 '돌덩이'인데 위키를 읽어보면 1892년 Edwin Holmes에 의해 발견됐는데 그때도 원인을 알 수 없는 ourburst로 겉보기등급이 4정도로 높아졌었다고 한다. (겉보기등급 3.4정도의 안드로메다와 같이 나온 사진이 있다. 하여간 어제 사진이나 찍어볼까 하고 망원경 들어매고 밖에 나가서 한참 삽질을 했는데 결과적으로 내가 가진 CCD 감도가 안좋아서 잘 안나와서 포기했다. 아니 감도라기보다 그냥 CCD가 너무 작아서 집광력이 너무 안좋은 거 같다. 업그레이드를 하던가 해야지.

대신 삼각대에 디지털 카메라 올려놓고 몇장 찍었다. 감도 50으로 놓고 F/2.8정도에서 15초 노출 정도 하면 노이즈도 너무 많이 않고, 적당히 맨눈보다 '조금' 더 잘보이는 정도로 찍힌다. 대충 겉보기등급 5 정도는 잘 안잡히는 거 같다. 하지만 대충 4등급 정도는 대충 잘 볼만하게 나온다. 사진 첨부한다.

1:14AM EDT, 4th November, 2007, at Schenley Park, Pittsburgh, PA
Canon S60, Manual Mode, ISO 50, F/3.2, Exposure 15 seconds

클릭 하면 더 큰 사진을 볼 수 있음.
흠, 사진을 올릴 때 얘가 알아서 1600*1200으로 조절하는거 같다.
여기를 누르면 원본 사이즈로 큰 사진을...

IK

The Modern Science of Origami

어제 아침 Colloquium Notice를 받았는데, 주제가, "From Flapping Birds to Space Telescopes: The Modern Science of Origami"였다. 최근 protein folding problem(이것도 computationally NP problem)에 origami가 많이 응용되고 있다는 이야기를 들은 적도 있고 해서 사실 뭔가 scientific한 inspiration을 얻을 수 있을까 해서 갔다. CMU-PITT Physics Joint Colloquium Series중 하나고 이번에는 CMU School of Art가 co-sponsor란다. 매주 돌아가면서 PITT과 CMU에서 Colloquium이 열리는데 이번에는 CMU에서 할 차례라고. 하여간 Computational Mathematics, Physics, Biology를 아우르는 주제라고 생각해서, 무려 15분이나 걸어서-_- 세미나실에 들어갔다. 당연히 난 Flapping bird를 origami로 어떻게 바라보는 방법이 있고, space telescope같은 거에도 origami의 원리가 들어간다고 생각했다. 예를 들면 태양전지판을 접고 펴는 방식이라던지 -_-;;

결론은... 완전 낚였다.

From Birds to Telescopes는, 다시 말해서 새..부터 망원경까지 종이로 접었다는 -_- 뜻이었고. 좀 scientific한 내용이라고는, 그냥 이 사람들이 종이접기를 할 때 생각없이 만드는 것이 아니라, 최종적으로 만들 물체의 topological structure에 따라 만든다는 것이었다. 뭐 자세한 이야기는 어떻게 설명해야할 지 모르겠는데, 종이를 접는 방식에 따라 기본적은 structure가 존재한다. 예를 들어 어느 한 점을 중심으로 여러번 접고 그 끝을 자른다면 원이 형성이 될 것이다. 그런 원리로 그런 '덩어리'의 위상을 가진 곳에 이른바 'ball'을 배치하고, 이 사람들이 'molecule'이라고 표현하는, 내가 봤을때는 중앙에 한 점이 외곽의 점 세개를 연결하는 네트웍의 노드 모양이 되는 위상을 적재 적소에 배치하면 특정한 topological structure가 구현이 가능하다는 것이다. 물론 어떤 topological structure가 되고 안되고의 여부는 아직 open이고, 게다가 NP problem이란다. 다시 말해 영원히 모를 거라는 거고 -_-; 모르지, 할일 없는 사람 Quantum Computation and Origami라는 논문 하나 쓰면 되겠네. 머 그렇게 그저 그런 talk이었다. 하지만 speaker가 만들었다며 보여준 것들은 참 멋졌다. 보고 싶은 사람은 여기 가보길 바라고. 칼텍 JPL출신 과학자라는데, 하여간 제대로 낚였...

IK

그래도 물리과 콜로퀴움 이야기니 카테고리는 물리로;;

ApEn and SampEn

하여간 어제 밤에 쓰다가 밤이 늦어서 대충 글을 마무리했는데, 에콰도르에서 온 낚시 페이퍼는 그렇다 치고, 하여간 최근에 인상적이었던 subject중 하나가 Sample Entropy라는 개념이다. 'seemingly same' time series들을 구분하는 방법인데 내가 알기로 Approximate Entropy라는 개념은 Princeton에 있는 S. Pincus(PNAS 88 2297)에 의해 제안된 개념인고, Sample Entropy는 ApEn의 단점을 보완(?)한 그런 방법이다. Sample Entropy는 다음과 같이 정의된다.

SampEn(m,r,N)=-log(P(AB)), 여기서 A와 B는 다음과 같다. B는 time series안에서 m개의 sequence가 tolerance level r 안에서 '같다'고 판정되는 이벤트이고, A는 m+1번째 값이 r 안에 있을 이벤트이다. N는 전체 time series의 길이이다.

고로 실제로 이 값을 계산할 때는 time series전체를 훝어가면서 두개의 점을 잡은 다음, 그 점에서 시작하는 길이 m+1의 sequence를 빼낸다. 그리고 나서 첫 m개의 점이 r 안에 있을 경우와 m+1번째 점이 r 안에 있을 경우를 계산해서 conditional probablity를 구하는 것이다. ApEn과 SampEn의 다른점은, as far as I know, ApEn은 두 개의 점을 찾을 때 예컨대 i-th point하고 j-th point를 찾을 때 i=0..N이고 j=0..N인 반면 SampEn의 경우는 i=0..N이고 j=i+1..N이다. 그러므로 SampEn이 ApEn에 대해 가지는 merit은 computational cost가 절반이고, self-matching이 없기 때문에 N-dependence가 적다는 것이다. 아 그리고 이 값의 계산은 computational cost의 관점에서 O(N^2)로 분류되므로 P-class이다.

누구나 예상할 수 있다시피, 이 SampEn 값은 상당히 arbitary하다. m이나 r은 변수라기보다 일종의 parameter들인데, parameter들에 값이 상당히 dependent하기 때문에 이 값 자체로는 아무 physical meaning을 가지지 않는다. 사실 나는 왜 확률에 로그를 취하는지, plnp도 아니고, 그냥 로그만 취할거면 왜 취하는지도 잘 이해가 가지 않는 구석이 있다. 하여간 이제 이 SampEn에서 의미를 찾으려면, 서로 다른 time series를 같은 parameter를 줬을 때 값을 비교를 하거나, 아니면 multiscale case를 생각할 수 있다.

Time series가 하나 있어서 {x_i, i=0..N}이라고 해보자. 이거를 time parameter tau를 정해서 multiscaling을 한다는 이야기는 tau=2일 경우에 {x(2)_j, j=0..N/2}이고 x(2)_j=(x_2j+x_2j+1)/2로 tau개 만큼의 점을 모아서 average를 한다는 거다. physically 이렇게 점의 개수를 줄여가며 average를 하면 정보의 양이 적어지기 때문에 엔트로피는 줄어들어야 하는 것이 정상이다. 하지만 2002년의 Costa et al.(PRL 89 068102)의 논문을 보면 이게 항상 줄어들지는 않는다. 이를 테면 대부분의 randomness가 low frequency, 즉 large time scale에 몰려있는 1/f-noise같은 경우는 실제로 tau, 즉 time scale factor에 대해서 SampEn값이 거의 변하지 않는다. 반면 spectral property가 없는 white noise같은 경우는 아주 아름답게 감소하는 그래프가 된다. 그리고 이 사람들은 이걸 physiology에 적용을 했는데 결론은 'healthy heart'와 'atrial fibrillation-부정맥'의 경우, 'congestive heart failure-출혈성질환'의 경우에 대해 각각 심장의 심박수의 SampEn vs scale factor에 대한 그래프를 그렸을 때 모두 다른 패턴을 보여준다는 것이다. 그리고 똑같이 healthy한 경우라도 나이에 따라서 현저하게 다른 SampEn value를 보여준다는 것이다.

하여간 아주 재미있는 논문이었다. 사실 세상에 존재하는 모든 주제는 medical 혹은 financial이랑 연관되면 그 존재가치가 급증하고, 그와 관련된 페이퍼는 퍼블리쉬가 잘되는 현상이 생기는데, physics하는 사람들이 그런 쪽으로 많이 건드리는 것은 참 좋은 일이라고 생각된다. 아직 이 주제에 대해 관심을 가진 사람은 거의 없는 거 같지만 그 수 많은 가능성이 보이는 theory중 하나라는 점에서, 블로그에 정리를 해본다.

IK

최근에 경제에 대한 관심이 커진 것도 사실 이 페이퍼와 무관하지 않은데, 어떻게 경제지표의 변화를 보여주는 time series를 분석해서 healthy economy, decaying economy, or stabel economy 이런 식으로 분류할 수 있는 단서를 찾을 수 있다면 그거 자체로도 큰 학문적 성과가 아닐지 싶다.

Physics+Economics=?

간혹 물리에 대해 내가 왜 물리를 하나 하고 회의가 들 때가 있는데, 이를테면, 다른 분야에 비해 연봉이 좋지 않은 분야라는 것을 새삼 깨달을 때이다. 흠, 사실 이러한 이야기가 물리학이라는 학문에 대해 과도한 자부심에서 비롯된 것이 아닌가 하고 생각이 들 때가 있기도 하지만 말이다.

예를 들어, 물리학 박사를 마치고 포닥을 하게 되면 미국에서 4~5만불의 연봉을 받게 될 것이다. 몇년간의 포닥이 끝나고 진짜 잡을 잡으면 아마 10만불쯤 받게 될거다. 미국에서. 반면 금융쪽이나 하다못해 일부 공대의 경우는 석사를 마치고 바로 잡을 잡아도 10만불, 특히 금융 쪽은 15만불 이상을 바라볼 수 있으니 이거 물리 하는 사람들 입장에서는 맥빠지는 일이 아닐 수 없다. 게다가 물리학자들이 바라보는 관점에서, '물리적으로 의미가 있지도 않고 수학적으로 엄밀하지도 않은 대충 익숙해지면 아무나 할 수 있는 일'의 대가가 그렇게 많다는 것은 받아들이기 힘들 것이 아닐 수 없다.

물론 그런 일이 정말 쉬운 것은 아니다. 예를 들어, 물리적 의미가 없기도 하고 수학적으로도 의미가 없는 공학의 경우, 무엇을 '깔끔하게' 만든다는 것은 사실 물리적 수학적 의미를 떠나서 정말 실생활과 관련된 중요한 일이며, 금융쪽은 빡세게 젊어서 일하고 일찍 은퇴하기도 하거니와, 그 바닥에서 살아남을 확률은 적기도 하다. 물론 물리라고 해서 살아남기 쉬운 것은 아니다.

나를 포함해 많은 물리하는 사람들이 사회, 경제분야의 연구의 방법론이 수학적으로 엄밀하지 않다는 것에는 아마 대개 동의를 할 것이다. 반면, 그게 그쪽 사람들의 수학적 논리의 엄밀성에 대해 몰이해에 비롯된 것이라기보다는, 그들이 다루는 시스템 자체가 highly nonlinear하기 때문에, 현재까지 우리가 가진 analytic한 수학의 범위에서 쉽게 다룰 수 없는 시스템이라는 것은 자명한 일이다.

오늘 biophysics seminar에 들어갔었는데, master equation에서 직접 Fokker-Plank equation을 유도한 다음에, n개의 recepter를 가진 박테리아가 phage에 공격당하는 상황에서 recepter개수를 바꾸거나 cell division을 일으킨다면...이라는 전제로 equation을 만들고 풀기 시작하더니 결국 많은 근사가 나온다. 목적은 bacteria전체 population의 time dependent differential equation을 만드는 것이었는데, 결국 우리가 흔히 상상할 수 있는 dB(t)/dt=aB, where B is the population and a is the growth rate, 라는 간단한 analytic한 식이 되기 위해서는 수많은 가정이 필요했다. phage가 매우 적다는 가정에서부터 시작해서(이건 꼭 필요한 가정은 아니지만), 수 많은 normalization condition들과 함께 결국에는 steady-state에서 bacteria의 recepter 개수의 distribution은 일정하다는 가정까지 나와버렸다.

문제는 constraint를 주면 줄수록 문제는 간단해지겠지만 의미는 없어진다는 것이다. 사실 물리에서 다루는 생각이 없는 시스템 들이야 우리가 이렇게 돼! 하고 조절할 수 있는 control knob이 존재하는 시스템 들이기 때문에 우리는 constraint를 바꿔가면서 실험을 하고, 그런 결과를 종합해서 큰 이론을 만들어낸다. 하지만 biosystem과 마찬가지로, 사회, 경제적 시스템은 통계적 의미는 있을지언정 개체 자체가 passive하지 않기 때문에 우리 손에 주어진 control knob들이 많지가 않다. 이러한 면이 사회현상들에 대한 수학적 연구를 어렵게 만드는 이유일 것이다.

최근에 나온 arXiv 논문 중에 'Maximum Entropy, the Collective Welfare Principle, and the Globalization Process'라는 걸 봤다(arXiv:physics.soc-ph:0707.1897). arXiv의 preprint는 좋은 논문들도 많이 올라오지만, 사실 별 의미가 없는 논문도 많이 올라온다. 그래서 주로 저자 이름이나 논문이 쓰여진 형식을 보고 읽을지 말지를 결정한다. (일단 기본적으로 2단 편집이 아니면 submit할 의사도 없다는 거기 때문에 아예 읽지 않는다.) 하여간 이 논문의 저자는 에콰도르 사람인데, 2단편집이라 혹시 APS계열 저널에 내려고 하나 해서 읽었다. 물론 크게 의미가 있는 논문은 아니었다.

하여간, 이 저자의 주장은, 양자역학과 게임이론 사이에 similarity가 존재한다는 것이다. replicator dynamics로 알려진 Evolutionary game theory는 vector form의 1st order differential equation인데, 이를 잘 지지고 볶으면, matrix의 diagonal component가 의미를 가지는 tensor form으로 바꿀 수 있고, 이걸 또 지지고 볶으면, dX/dt=[A,X]형태로 바꿀 수 있다. 여기서 X의 diagonal component가 원래 replicator dynamics모델의 변수들이고, (특정 strategy를 채택하는 game participant의 수) A는 복잡한 식이다.-_- 하여간 이 저자의 주장은 이게 Quantum Mechanics의 von Neumann equation이랑 닮았다는 거다. 그래서 결국은 von Neumann entropy가 closed system에서 증가하는 것처럼, 이 replicator dynamics model의 경우에도 shannon entropy가 증가한다는 거다. 그리고 엔트로피가 가장 높은 상태, 저자에 따르면 Nash equalibrium에 해당하는 상태에 도달하면, equipartite상태여야 한다는 얘기다. 그렇게 collective welfare에 대한 justification을 시도하더라.

하여간 문제는 differential equation의 form이 같다고 해서 그에 따르는 물리적 priciple이 같을리는 전혀 없다는 것이 문제다. von Neumann equation과 modified replicator dynamics의 equation이 같은 형태를 하고 있다는 것이 replicator 모델에서 유도된 Shannon Entropy가 증가해야한다는 것은 전혀 관계가 없다. Entropy가 증가한다는 것은 열역학 시스템의 기본적인 first-principle이지 von Neumann equation의 derivative가 아니다. 고로 그걸 사회학에 적용하는 것은 F=ma와 V=RI의 functional form이 같다고 모든 저항이 있는 물체를 서로 끌어당길 수 있다고 주장하는 것과 하등 다를 바가 없어 보인다. 이것은 mx''+bx'+cx=0이라는 mechanical system과 Lq''+Rq'+cq=0이라는 RLC회로의 similarity를 이용해서 문제를 푸는 것과는 하늘과 땅보다 큰 차이가 있다. 하여간 나름의 기대를 가지고 본 논문은 결과적으로 헛소리였던거 같지만, 일단 나한테 game theory가 실제 물리학에서 어떻게 적용될 수 있다는 가능성을 보여줬다는 면에서 참으로 재미있는 논문이었다.

사회, 경제에 대한 학문들도 발전하고 있고, 물리도 발전하고 있다. 물리는 이제 슬슬 nonlinear system에 대해 이해를 할 수도 있다는 희망을 가질 수도 있다는 희망을 (-_-) 가질 정도의 레벨은 된 거 같고, 그에 따라 수많은 방법론들이 제시되고 있다. 특히 network에서는 많은 breakthrough가 있었고, time series를 다루는 분야에서도 많은 진척이 있었다. 나는 잘 모르지만. 물리라는 말은 방법론에 대한 이야기지 연구 대상에 대한 이야기가 아니다. 이는 다른 학문과 확연이 구분되는 경우인데, 예를 들어 미술사학이라는 단어와 생물학이라는 단어, 혹은 영문학, 경제학 등의 용어에서 그 학문 분야가 무엇을 연구하는 지에 대한 답이 온다. 하지만 물리학은 어떤 사물을 바라보는 관점에 대해 배우는 학문이지 특정한 시스템을 다루는 학문이 아니다. 예컨대 생물학을 하는 사람들이 강아지를 바라볼 때 어떤 사람은 그 강아지 안에 화학물질의 transport에 관심이 있을 수도 있겠지만 다른 사람은 강아지 품종에 관심이 있을 수도 있다는 것이다. 반면 물리하는 사람은 우주를 보나, 분자를 보나, 원자를 보나, 그보다 작은 소립자를 보나, 똑같이 물리적인 관점에서 바라본다. 마찬가지로 물리학자들이 경제, 사회, 생명현상을 바라볼 때 물리적인 시각으로 바라봐야한다는 것이다. 이전까지 물리적 tool의 수준이 경제, 사회, 생명 현상에 대해 물리다운 시각을 제공하는 것이 불가능했다면, 이제 점점 가능한 레벨로 올라오고 있다는 것이다.

two-body problem이야 쉽게 풀리지만 거기에 뭔가가 하나 더 들어와서 three-body problem이 되면 이거부터도 analytic한 방법으로 풀지 못한다. 어찌보면, 아니 당연하게도, 어떤 ensemble에서 통계적 의미가 있는 레벨보다 하위 레벨로 가서 각각의 particle에 대한 솔루션을 구하는 것은 영원히 불가능의 영역에 있을지도 모른다. plasma physics에서는 plasma를 바라보는 세가지 관점이 있다. particle picture, fluid picture, kinetic picture. particle이 제일 세부적인 관점이고 kinetics가 가장 거시적인 관점인데, fluid만 해도 충분히 statistical nature가 있는 분야이고, N개를 각각 독립적으로 다루는 것보다야 훨씬 편하게 생각할 수 있다. 물론 fluid도 nonlinear이기 때문에 그다지 편하진 않다. 하여간 그러한 식으로 물리학자가 세상살이를 바라본다면, 아마 ensemble 속의 indistinguishable elements를 들여다보기 보다는 ensemble average에 더 관심을 가질 것이다. 물론 그것이 이미 개발된 사회 경제 모델과 얼마나 차별화될 지는 모를 일이다.

하여간 이래저래 잡설을 많이 썼는데 결론은,
1. game theory 나름 재밌고 물리적 의미가 있는 거 같다. 시간되면 공부해보야지.
2. 경제학도 나름 재밌고 수학적 의미가 있는 거 같다. 시간되면 공부해봐야지.

IK

P.S.

예전에 SSH가 '수학이라는 언어에서 물리를 꺼내서 사람들이 알아듣는 언어로 번역하는 것이 대박의 지름길'이라고 주장한 적이 있었던거 같은데, 반대로 '사람들의 언어에서 물리적 의미를 뽑아내어 수학이라는 언어로 번역하는 것' 역시 참 대박의 지름길이라는 생각이 듣다. 무엇보다 주가 동향의 물리적 트렌드를 찾아서 돈을 잘 벌 수 있다면 노벨상이 부럽지 않을...까? 그래도 노벨상은 좋은거지.

Bayesian Statistics

예전부터 랩 세미나 등에서 이야기가 오갔던 주제인데, 최근에 'Bayesian and Frequentism'이라는 talk을 듣고 나서야 이 이야기가 왜 중요한지 이해를 할 수 있었다.

A와 B의 진리집합의 교집합을 생각해보면 P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A) 라는 아주 간단한 관계식이 성립한다. 여기서 P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B) 가 이른바 'Bayes Theorem'이다.

이 Bayes Theorem의 내용은 간단하다. 위키피디아(http://en.wikipedia.org/wiki/Bayes_theorem)에 나온 예인데, 봉지가 두개 있다. 첫번쨰 봉지에는 검은돌이 1개, 흰돌이 3개, 두번째 봉지에는 검은돌 2개, 흰돌 2개가 들어있다. 이 경우 눈 감고 (어떤 봉지인지 모르고) 돌을 뽑았을 때 검은돌이 나왔다. 그럼 이 검은돌은 어디서 온 것인가...가 우리가 내미는 질문이다.

이 경우 P(첫번째 봉지|검은돌)=P(검은돌|첫번째봉지)P(첫번째봉지)/P(검은돌)=(1/4)*(1/2)/(3/8)이 되겠다. 이건 아주 간단한 예고 이건 딱히 Bayesian Philosophy가 들어가있지도 않은 예이다. 사실 이런 예만 들으면 Bayes Theorem이 정말 쓸데없는 거구나...하고 생각하기 십상이다.

정말 예는 여기서부터인데, P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)에서 P(A)부분에 있다. 다시 말해서 '검은돌이 어디서 왔느냐'에 대한 대답을 하려면 '우리가 눈을 감고 봉지를 집었을 때 첫번째 봉지를 잡을 확률'에 대해 알아야한다. 앞선 위키피디아의 예에서는 이걸 단순히 1/2이라고 했지만 사실 Bayesian에서는 이 P(A), Bayesian의 용어에 따르면 'prior'가 중요한 것이다.

이를 테면 이런 예를 생각할 수 있다. 길거리를 지나가다가 동전을 주웠고 그것이 biased 동전, 즉, head와 tail이 나올 확률이 각각 1/2이 되지 않는 동전일 확률이 얼마인가...를 생각하는 거다. 그래서 우리가 동전을 단 1회 던져보았더니 앞면이 나왔다.

P(biased|head)=P(head|biased)P(biased)/P(head)

이 된다. 사실 여기서 우리가 아는 부분은 아무것도 없다. 다만 한번 던져서 head가 나왔으니 'so far', P(head)=1이고, P(biased)는 우리가 모르는 부분이다. 하지만 P(head|biased)는 부분적으로 알 수 있는 부분인데, bias된 정도를 우리가 가정을 해줄 수도 있는 부분이다. 이를테면 언제나 앞면만 나오는 동전이라던지 하는 식으로... 하여간 여기서 우리가 아예 모르는 부분은 P(biased)이다.

즉 동전을 주워서 이게 도박장에서 나왔는지 화폐국에서 나왔는지가 궁금해서 한번 던졌더니 앞면이 나왔다. 이때 이 동전이 도박장에서 나왔을 확률을 P(biased)과 비례한다. 당연한 얘기겠지만 P(head)=1인 상태에서 P(biased)는 P(biased|head)와 같다.

하여간 P(biased)를 결정해줘야하는데, 이건 우리의 '경험'에 관계되는 부분이라는 거다. 즉, 우리가 동전을 주운 위치가 라스베가스이냐, 뉴욕의 월스트리트이냐가 중요하다는 것이다. 또한 다시 동전을 더 던져서. 이를 반복하여 계속 앞면만이 나올 때와 앞면과 뒷면이 고루고루 나올 때 prior에 대한 우리의 판단은 달라진다.

Neyman을 위시한 Frequentism과 Bayesian의 가장 큰 차이점은, Frequentist들이 'Given parameter에서 사건이 일어날 확률'을 묻는 반면 Bayesian들은 '사건이 일어났을 때 parameter들이 어떻게 주어졌을지에 대한 확률'을 본다는 것이다. P(A|B)에서 A와 B가 동등한 사건인 경우가 아니라 하나가 사건이고, 다른 하나가 우리가 반복실험을 하려고 하지 않는 실험의 조건일 때서야 Bayesian의 철학이 묻어나오는 것이다. Frequentist들은 하나의 사건을 두고 통계를 이야기하지 않지만 Bayesian들은 그걸 할 수 있다. Talk은 재미있는 문장으로 마무리되었는데, 나도 이 글 그걸로 마무리해본다.

"Frequentist들은 누구나 믿는 근거로 아무도 관심을 가지지 않는 문제에 대답하는 것이고, Bayesian statistics는 아무도 믿지 않는 근거로 모두가 관심을 가지는 문제를 다루는 것이다."

나중에 이 주제에 담긴 철학에 대한 이해가 깊어지면 다시 써봐야겠다. -_-

IK

Just taken.

Jupiter, 1:25am, May 28, 2006.

방금 막 찍고 몇분만에 후처리 대강 마친 사진. 조만간 wiki에서 다른 사진도 후처리해서 올릴 예정.

Edit: 1:30am EST, June 1, 2006

좀 더 잘 해서 위성까지 나온 것까지. 위에 먼저 올린 사진은 3배율 버로우 렌즈를 끼우고 찍은건데, 아래 이미지는 버로우 없이 찍은 것이다.

IK