A Simple Model

지난 크리스마스이브에 비행기를 타지 못한 이후로, 하루나 이틀 동안 왜 아무도 미리 다음날 비행기를 자원하지 않았을 지에 대해 생각하고 있었다. 다시 말해 만약에 우리가 이 상황을 간단한 게임이론의 모델로서 구축할 수 있고 payoff table을 만들 수 있으며, 그에 따라 'involuntary strategy'가 Nash's equilibrium에 있다면 왜 그랬는지 설명할 수 있지 않을까?

(여기까지는 그날까지의 감상이고, 사실 돌아오는 비행기에서 'Freakonomics'라는 책을 읽으면서 왔는데 그 책의 저자의 관점에 들어있는 ‘인센티브’의 개념으로도 대충 설명이 가능할 거 같다는 생각이 든다. 하지만 그날까지의 감상으로 이 글은 한정하겠음.)

그래서 모델은 이렇다. N명의 사람들이 비행기를 타려 기다리고 있고, M개의 자리가 있다. N>M의 상황만을 고려하며, 그에 따라 N-M명의 사람이 비행기를 탈 수 없다. 실제 상황에서는 각 승객의 fare class가 있어서 우선순위라는 것이 존재하지만, 간단한 모델을 만들기 위해서 그런 것을 무시한다. 누가 제외될 지의 선택은 무작위로 결정된다. 다시 말해 M보다 작은 V명이 자원을 했을 때, 자원하지 않은 사람이 비행기를 타지 못할 확률은 (N-V-M)/(N-V)가 된다.

그리고 V>M일 경우 약간 복잡해지는데, M/V의 확률로 비행기를 타지 않게 되겠지만, (V-M)/V의 확률로 비행기를 타게 된다. V>(N-M)일 확률을 a라고 하자. 사실 a는 payoff의 함수이고 payoff는 a의 함수가 되기 때문에 recursive function이 되는데, 현실적으로 웬만하면 a는 0에 가까울 거 같다. 하지만 우리가 가정하는 상황 자체가 V>0인 상황이기 때문에 a를 함부로 0으로 놓으면 안 될 것이다.

그리고 payoff를 도입하자면, 어떤 사람이 자원해서 비행기를 타지 않았을 경우 R(Reward)이라는 보상을 받겠지만 T(Timeliness)만큼을 얻을 수 없다. 어떤 사람이 자원하지 않았지만 비행기를 타지 못할 경우는 C(Compensation)라는 보상을 받고 T를 잃게 된다. 비행기를 타게 되면 T를 얻게 된다.

정리하자면, 어떤 사람이 자원한다면,
1) a의 확률로 '잉여 자원자‘가 생기게 되고, 이 경우
1.1) (V-M)/V로 T 획득
1.2) M/V로 (R-T) 획득
2) (1-a)의 확률로 (R-T)획득
고로 P(voluntary)=aT(V-M)/V+aM(R-T)/V+(1-a)(R-T)

어떤 사람이 자원하지 않는다면,
1) a의 확률로 무조건 비행기 탐: T 획득
2) (1-a)의 확률로 추첨돌입, 이 경우
2.1) (N-V-M)/(N-V)로 탑승 실패: (C-T) 획득
2.2) M/(N-V)로 비행기 탑승: T 획득
고로 P(involuntary)=aT+(1-a)(N-V-M)(C-T)/(N-V)+(1-a)MT/(N-V)

정리하면,
P(voluntary)=(1-a)(R-T)+a(TV+MR-2TM)/V
P(involuntary)=aT+(1-a)(NC-VC-MC-TN+TV+2TM)/(N-V)

N과 M은 상황에 따라 주어지는 parameters고, C와 R은 항공사가 규정에 정한 constants이다. T는 개개인의 상황에 따라 달리 주어지는 parameter이고 a와 함께 상황을 복잡하게 만드는 요인이 된다. voluntary, involuntary 두 경우 모두 a와 V의 함수가 되고, a도 역시 V의 함수이므로 비선형 항이 되겠다. 하여간 P(v)와 P(i)를 모두 V의 함수로 그렸을 때 V와 상관없이 P(i)>P(v)가 되는 parameter set이 존재한다면 그때가 모두 양보하지 않는 Nash's equilibrium이 될 것이다. 대충 봐서 R=C=2T, a=0의 경우 P(v)=T, P(i)=T가 되어 두 경우의 기대값이 같게 나타난다. 당연한 결과지만. 만약 R < C 이라면 Nash equilibrium이 거의 되지 않을까 생각. 잘 읽어보지 않아서 모르겠지만 아마 항공사 규정에 involuntary case가 더 보상이 컸던 거 같다.

더 이상 자세한 생각이나 시뮬레이션은 UA가 알아서 했을 거라 생각한다. 그럼 이만.

IK